Woo! Tube

28 Декабрь 2009

10. Закон сохранения и изменения количества движения

написано в рубрике: Новости — Метки: , — admin @ 23:58

Зако́н сохране́ния и́мпульса (Зако́н сохране́ния количества движения) утверждает, что сумма импульсов всех тел (или частиц) замкнутой системы есть величина постоянная.

Из законов Ньютона можно показать, что при движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии взаимодействия скорость его изменения определяется суммой приложенных сил. В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Однако этот закон сохранения верен и в случаях, когда ньютоновская механика неприменима (релятивистская физика, квантовая механика).

Как и любой из фундаментальных законов сохранения, закон сохранения импульса описывает одну из фундаментальных симметрий, — однородность пространства.

Рассмотрим выражение определения силы

\frac{d\vec {p}}{dt}=\vec {F}.

Перепишем его для системы из N частиц:

\sum_{n=1}^{N} \frac{\vec{dp_n}}{dt}=\sum_{n=1}^{N}\sum_{m=1}^{N}\ \vec{F}_{n,m}, \qquad m\ne n, \qquad\qquad (1)

где суммирование идет по всем силам, действующим на n-ю частицу со стороны m-ой. Согласно третьему закону Ньютона, силы вида \vec {F}_{a,b} и \vec {F}_{b,a} будут равны по абсолютному значению и противоположны по направлению, то есть \vec{F}_{a,b} = -\vec{F}_{b,a}. Тогда после подстановки полученного результата в выражение (1) правая часть будет равна нулю, то есть:

\sum_{n=1}^{N} \frac{d\vec{p}_n}{dt}=0

или

\!\qquad \frac {d}{dt}\sum_{n=1}^{N}\vec{p}_n=0.

Как известно, если производная от некоторого выражения равна нулю, то это выражение есть постоянная величина относительно переменной дифференцирования, а значит:

\sum_{n=1}^{N}\vec{p}_n=\overrightarrow {\mathrm{const}} \qquad\! (постоянный вектор).

То есть суммарный импульс системы частиц есть величина постоянная. Нетрудно получить аналогичное выражение для одной частицы.

Следует учесть, что вышеприведенные рассуждения справедливы лишь для замкнутой системы.

Также стоит подчеркнуть, что изменение импульса d\vec {p} зависит не только от действующей на тело силы, но и от продолжительности её действия. Это легко продемонстрировать на примере. Пусть на нити висит шарик массы M.\! Если медленно тянуть за нижнюю нить силой F,\! то обрывается верхняя нить, так как за время действия силы тело успевает приобрести и некоторую скорость (некоторый импульс). Если же резко потянуть за нижнюю нить, она обрывается. Шарик в этом случае продолжает висеть (он не успевает приобрести заметную скорость, поскольку импульс силы d\vec {p} = \vec {F}dt очень мал.

Работает на WordPress