Криволинейное движение. Тангенциальное и нормальное ускорения.
Рассмотрим движение материальной точки по криволинейной плоской траектории. Вектор скорости движения в любой точке траектории направлен по касательной к ней. Допустим, что в точке М0 траектории скорость было , а в точке М стала . При этом считаем, что промежуток времени при переходе точки на пути из М0 в М настолько мал, что изменением ускорения по величине и направлению можно пренебречь. Для того, что бы найти вектор изменения скорости , необходимо определить векторную разность:(35).Используя уравнение:(36).
При бесконечном уменьшении угол при вершине стремится к нулю. Тогда вектором можно пренебречь по сравнению с вектором , а вектор (37) будет выражать тангенциальное ускорение и характеризовать быстроту изменения скорости движения по численному значению.
Следовательно, тангенциальной ускорение численно равна производной от скорости по времени:(38) и направленно по касательной к траектории. Вычислим вектор (39) называемый нормальным ускорением. При достаточно малом участок криволинейной траектории можно считать частью окружности. В этом случае радиусы кривизны М0О и МО будут равны между собой и равны радиусу окружности R. Поэтому (40), но (41), тогда(42).
Переходя к переделу при и учитывая, что при этом (43), находим(44),т.е.(45). Так как при угол , направление этого ускорения совпадает с направлением радиуса R кривизны или с направлением нормали к скорости , т.е. ускорения перпендикулярен . Поэтому это ускорение называют центростремитель-ным. Оно характеризует быстроту изменения скорости движения по направлению.
Полное ускорение определяется векторное суммой тангенциального и нормального ускорений: (46).
Направление полного ускорения определяется углом между a1 и an :(47).
Движение материальной точки по окружности.
Рассмотрим движение материальной точки по окружности с постоянной по величине со скоростью. В этом случае, называемое равномерным движением по окружности , касательная составляющая ускорения отсутствует (ak=0) и ускорение совпадает со своей центростремительной составляющей. За малый промежуток времени точка прошла путь, а радиус-вектор движущейся точки повернулся на малый угол .
По величине скорость постоянна и угол и подобны, поэтому(48) и (49). Тогда,(50) или учитывая, что v и R постоянны и a=an (51),получим (52). При стремление , , поэтому(53). Следовательно, (54).
Равномерное движение материальной точки по окружности характеризуются с угловым скоростям . Она определяется с отношению угла поворота к промежутку времени , за который этот поворот произошел: (55).
Единица измерения в СИ . Линейная и угловая скорость связана с соотношением:(56).
Равномерное движение по окружности описывается периодической функцией:(57).
Здесь наименьшее время повторения Т называется периодом данного процесса. В нашем случае Т-время одного полного обращения.
Если за время t сделано N полных оборотов, то время одного оборота в N раз меньше t:(58).
Для характеристики такого движения вводится число полных оборотов за единицу времени v (частота вращения). Очевидно, что Т и v – величины взаимно обратные: (59). Единица измерения частоты в СИ [Гц].
При неравномерном движении материальной точки по окружности вместе с линейной скорости изменяется угловая. Поэтому вводится понятие углового ускорения. Средним угловым ускорением называется отношение изменения угловой скорости к промежутку времени , за который это изменение произошло: (60). При равнопеременном движении материальной точки по окружности и . Поэтому угловая скоростьи угла поворота радиуса определяется уравнением:(61)где – начальная угловая скорость движения материальной точки.
, а в точке М стала 
. При этом считаем, что промежуток времени 
при переходе точки на пути 
из М0 в М настолько мал, что изменением ускорения по величине и направлению можно пренебречь. Для того, что бы найти вектор изменения скорости 
, необходимо определить векторную разность:
(35).Используя уравнение:
(36).
при вершине 
стремится к нулю. Тогда вектором 
можно пренебречь по сравнению с вектором 
, а вектор
(37) будет выражать тангенциальное ускорение и характеризовать быстроту изменения скорости движения по численному значению.
(38) и направленно по касательной к траектории. Вычислим вектор
(39) называемый нормальным ускорением. При достаточно малом 
(40), но 
(41), тогда
и учитывая, что при этом 
(43), находим
(44),т.е.
(45). Так как при 
, направление этого ускорения совпадает с направлением радиуса R кривизны или с направлением нормали к скорости , т.е. ускорения 
перпендикулярен 
. Поэтому это ускорение называют центростремитель-ным. Оно характеризует быстроту изменения скорости движения по направлению.
(46).
между a1 и an :
(47).
, а радиус-вектор движущейся точки повернулся на малый угол 
. 
и 
подобны, поэтому
(48) и 
(49). Тогда,
(50) или учитывая, что v и R постоянны и a=an (51),получим
(52). При стремление 
, поэтому
(53). Следовательно, 
(54).
. Она определяется с отношению угла 
поворота к промежутку времени 
(55). 
. Линейная и угловая скорость связана с соотношением:
(56).
(57).
(58).
называется отношение изменения угловой скорости 
к промежутку времени 
(60). При равнопеременном движении материальной точки по окружности 
и 
. Поэтому угловая скорость
и угла 
поворота радиуса определяется уравнением:
(61)где